Muchos no lo saben, pero quiero comenzar diciendo “muchos no lo saben”. Esto que parece un recurso redundante se denomina recursividad: algo cíclico que llama una cosa dentro de otra misma cosa. Como si el Jordi Puyol que salía en “Desafío Total” saliese de otro Jordi Puyol más grande, del que se lleva mucho dinero, y así sucesivamente siguiendo la línea genial-lógica por la que lo mismo da 8 que 80, no nos vayamos a poner matemáticos en política… Porque ¿qué somos? ¿Maestros Jedi acaso?

No les quiero engañar, esto no es geometría. Geometría es Rosy de Palma, pero esto no. El lenguaje, con su grandeza y sus limitaciones, no nos puede enseñar lo que pretendo. He venido a hablar (aunque en realidad no me he movido en todo el rato) de algo que rima muy mal: el fractal.

Aunque esto quizá suena raro, como un yoyó con tutú, todos hemos oído hablar de fractales, ¿verdad? Para atajar, un ejemplo de fractal es la Figura 1.

Figura 1 – Fractal presioso

Nos vamos a centrar en hablar sólo del primer punto, de la propiedad de los fractal de ser una autosimilaridad, que a parte de una palabra que nunca podría decir borracho… es una estructura que se repite y se repite infinitas veces. Concretamente se conoce como autosimilaridad exacta. Aquí da igual los píxeles, porque estamos tirando de la imaginación, y por mucho zoom que hagas vas a tener la misma imagen y con la misma calidad. El ejemplo clásico es el copo de nieve, pero tiene que ser un copo de nieve creado en nuestra imaginación, no vale el del mundo físico. Explícome. Para entender bien un concepto solemos tirar de los sentidos, de los ejemplos, como por ejemplo cuando estoy intentando poner ahora mismo un ejemplo (ala, otra recursividad)… Pero las matemáticas son ideas, conceptos, y para esta abstracción hay que cerrar los ojos y escribpifhgq

El concepto de fractal lo introdujo Mandelbrot, matemático del siglo XX, con nombre de delantero de la Real Sociedad, en 1975. Mandelbrot encontró funciones que representaban fractales (véase la Figura 2) que no sé cómo coñ… pudo hacerlo a mano en su momento, pero ahora nos dan estas figuras tan bonitas.

Figura 2 – ecuación que dibuja un Fractal por el método de Mandelbrot

Es muy conocido el triángulo de Sherpinsky, y los conjuntos de Julia, pero esta gente tiene mucho peligro, así que de momento con ver este Gif (Figura 3) para quedarse un rato mirando en lugar de hacer rectángulos en el escritorio, me vale.

Figura 3 – No os quedéis en este Gif, que es adictivo

También hay fractales numéricos, que os puede enamorar si os gusta la magia de los números, y lo podéis ver en la Figura 4. Sólo tiene unos y maravillosamente resulta el número de oro. Para que se sepa que uno a uno nos podemos hacer de oro (chiste de 3ero de Matemáticas). El “partido a partido” de las matemáticas. No olviden el número de oro, aviso number one.

Figura 4 – El número de oro, uno a uno

Esto es una autosimilaridad exacta. Sólo apta para imaginaciones y para gifs.

La siguiente autosimiliaridad es la aproximada, ¡ésta sí es la que hemos visto! La espiral de un caracol (donde aparece el número de oro, ya os avisé), el romanescu (la col ésa que nadie compra y es bonita a rabiar), el copo de nieve con el que en Murcia nos volvemos locos, MaCaulay Culkin feat. Ryan Gosling, … son imágenes que a priori parece que no terminan nunca, pero tienen los límites de la física. Están en el mundo numerable (“¡viva la numeración!”, El Puma). Puede haber 10, 20, 1.000.000 de MaCaulay Culkins, los suficientes para comprar todos los copos de nieve de Colombia… Pero nunca serían tantos como Mandelbrot describió.

Figura 5 – Autosimilaridad aproximada y La La Land

Esta autosimilaridad aproximada ha sido utilizada en ilustraciones famosas, como la utilizada por una marca alimenticia holandesa, Droste, que en 1904 (¡71 años antes que Mandelbrot!) utilizó como imagen comercial una niñera sosteniendo un envase de cacao que a su vez tiene su imagen sosteniendo el envaso de cacao y así hasta que se cansó el ilustrador… Fue tan conocida esta campaña publicitaria que a esto se le llamó Efecto Droste. No había matemática, sino curiosidad y fascinación… Y publicidad gratis para la marca Droste, también.

Este párrafo anterior está patrocinado por chocolate Droste, mmm qué ico.

Figura 6 – Mmm, qué ico

Nos falta algo. ¿Lo notan? Efectivamente, una tercera autosimilaridad, la autosimilaridad estadística. Desde la escuela pitagórica hasta nuestros tiempos verbales y catarrales, se ha comentado aquello de “en la naturaleza todo son polígonos y círculos”, y es cierto que la geometría básica describe aproximadamente nuestro entorno. Que hay algunas chonis que viven en los polígonos y que llevan los pendientes con los círculos seguramente más grandes jamás colgados… está claro. Pero a la hora de representar la naturaleza con fidelidad, estos triángulos, rectángulos, elipses, etc. no bastan. Para representar paisajes, montañas, nubes, árboles,… faltaba algo más. Y ahí el concepto de fractal ha sido la clave (Figura 7, otro gif… Gif, gif, ¡hurra!). A esta simulación de fractales se le conoce como autosimilaridad estadística. Pixar lo utilizó en los 90, y lo siguen utilizando. Y Pixar, mola.

Figura 7 – Autosimilaridad que simula una montaña

Es también aproximada, porque recuerden que un ordenador no tiene imaginación (de momento) y tampoco puede pensar en el infinito, ¿o sí…?

Figura 8 – CPU pensando en el infinito

FAQ

  • ¿Entonces Dios existe?

Vale, si te sientes mejor así, pues sí

  • ¿El número de oro me puede servir para ganar la Lotería?

Sólo si eres un caracol.

  • El otro día vi un fractal escribiendo un Whatsapp conduciendo, ¿podría ser Pablo Iglesias?

Fractales hay en todos sitios, basta decir hasta. El mundo está fractal…

  • ¿Autosimilariqué?

Oh oh oh, este es el show de Xuxa y les saluda con amor.

 

Este post participa en la Edición 7.X del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el Blog del IMUS.

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